|
Разложение функций в ряды
Разложение в степенной ряд
Огромное разнообразие функций давно
заставляло математиков задумываться над возможностями их приближенного, но единообразного
представления. К таким представлениям относятся различные ряды, сходящиеся к
значениям функций в окрестности заданной точки. Для разложения функции или выражения
ехрr в обычный степенной ряд служат функции
series(ехрr, eqn) и series(expr, eqn, n). Здесь ехрr
— разлагаемое выражение, eqn — условие (например, в виде
х=а) или имя переменной (например, х) и n — необязательное
и неотрицательное целое число, задающее число членов ряда (при его отсутствии
оно по умолчанию берется равным 6, но может переустанавливаться системной переменной
Order). Если в качестве eqn задано
имя переменной, то это соответствует разложению по этой переменной в области
точки с ее нулевым значением. Задав eqn в виде
х=х0, можно получить разложение по переменной х в окрестности точки х
= х0.
Разложение получается в форме степенного
многочлена, коэффициенты которого задаются рациональными числами. Остаточная
погрешность задается членом вида 0(х)^n. При точном разложении
этот член отсутствует. В общем случае для его удаления можно использовать функцию
convert. Ниже представлены примеры разложения различных
выражений в ряд:
Здесь видно, что член, обозначающий
погрешность, отсутствует в тех разложениях, которые точны, например, в разложениях
степенных многочленов. Для визуализации приближения рядами заданных аналитических
зависимостей очень полезно построить на одном графике кривые аналитической зависимости
и разложения в ряд. Мы это покажем чуть позже на примере ряда Тейлора.
|
