Иллюстрированный самоучитель по Maple

Пакет решения задач линейной алгебры linalg

Состав пакета linalg

Несомненно, что уникальной возможностью системы Maple 7, как и других систем компьютерной алгебры, является возможность решения задач линейной алгебры в символьном (формульном, аналитическом) виде. Однако такое решение представляет скорее теоретический, чем практический интерес, поскольку даже при небольших размерах матриц (уже при 4-5 строках и столбцах) символьные результаты оказываются очень громоздкими и труднообозримыми. Они полезны только при решении специфических аналитических задач, например с разреженными матрицами, у которых большинство элементов имеют нулевые значения.

Поэтому разработчики Maple 7 были вынуждены реализовать в своей системе численные методы решения задач линейной алгебры, которые широко используются в основных сферах ее приложения — математическом моделировании систем и устройств, расчетах в электротехнике, механике, астрономии и т. д.

В ядро Maple 7, как отмечалось, введены очень скромные и минимально необходимые средства для решения задач линейной алгебры. Основной упор в их реализации сделан на подключаемые пакеты. Основным из них, унаследованным от предшествующих реализаций системы, является пакет решения задач линейной алгебры Unalg. Это один из самых обширных и мощных пакетов в области решения задач линейной алгебры. Он содержит свыше ста функций:

> with(linalg); 

Warning, the names fibonacci, inverse and multiply have been redefined Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected[BlockDiagonal, GramSchmidt, JordanBlock, LUdecomp, QRdecomp, Wronskian, addcol, addrow, adj, adjoint, angle, augment, backsub, band, basis, bezout, blockmatrix, charmat, charpoly, cholesky, col, coldim, colspace, colspan, companion, concat, cond, copyinto, crossprod, curl, definite, delcols, delrows, det, diag, diverge, dotprod, eigenvals, eigenvalues, eigenvectors, eigenvects, entermatrix, equal, exponential, extend, ffgausselimfifibonacci,forwardsub,frobenius, gausselim, gaussjord, geneqns, genmatrix, grad, hadamard, hermite, hessian, hilbert,htranspose, thermite, indexfunc, innerprod, intbasis, inverse, ismith, issimilar, iszerojacobian, Jordan, kernel, laplacian, leastsqrs, linsolve,matadd, matrix, minor, minpoly, mulcol, /им/row,multiply, norm, normalize, nullspace, orthog, permanent, pivot, potential, randmatrix, randvector, rank, ratform, row, rowdim, rowspace, rowspan, rref, scalarmul, singularvals, smith, stackmatrix, submatrix, subvector, sumbasis, swapcol, swaprow, Sylvester, toeplitz, trace, transpose, vandermonde, vecpotent, vectdim, vector, wronskian] 

Ниже указано назначение тех функций пакета linalg, которые подробно не описаны:

•  addcol — добавляет к одному из столбцов другой столбец, умноженный на некоторое число;
•  addrow — добавляет к одной из строк другую строку, умноженную на некоторое число;
•  angle — вычисляет угол между векторами;
•  augment — объединяет две или больше матриц по горизонтали;
•  backsub — реализует метод обратной подстановки при решении системы линейных уравнений (см. также forwardsub);
•  band — создает ленточную матрицу;
•  basis — находит базис векторного пространства;
•  bezout — создает Bezout-матрицу двух полиномов; . _г
•  BlockDiagonal — создает блок-диагональную матрицу;
•  blockmatrix — создает блок-матрицу;
•  cholesky — декомпозиция Холесского для квадратной положительно определенной матрицы;
•  charmat — создает характеристическую матрицу (charmat(M,v) — матрица, вычисляемая как v E-M);
•  charpoly — возвращает характеристический полином матрицы;
•  colspace — вычисляет базис пространства столбцов;
•  colspan — находит базис линейной оболочки столбцов матрицы;
•  companion — вычисляет сопровождающую матрицу, ассоциированную с полиномом;
•  cond — вычисляет число обусловленности матрицы (cond(M) есть величина norm(M) norm(М^-1);
•  curl — вычисляет ротор вектора;
•  definite — тест на положительную (отрицательную) определенность матрицы;
•  diag — создает блок-диагональную матрицу;
•  diverge — вычисляет дивергенцию векторной функции;
•  eigenvals — вычисляет собственные значения матрицы;
•  eigenvects — вычисляет собственные векторы матрицы;
•  equal — определяет, являются ли две матрицы равными;
•  exponential — создает экспоненциальную матрицу;
•  ffgausselim — свободное от дробей Гауссово исключение в матрице;
•  fibonacci — матрица Фибоначчи;
•  forwardsub — реализует метод прямой подстановки при решении системы линейных уравнений (например, для матрицы L и вектора b
•  forwardsub(L, b) возвращает вектор решения х системы линейных уравнений L-x=b);
•  frobenius — вычисляет форму Фробениуса (Frobenius) матрицы;
•  gausselim — Гауссово исключение в матрице;
•  gaussjord — синоним для rref (метод исключения Гаусса—Жордана);
•  geneqns — генерирует элементы матрицы из уравнений;
•  genmatrix — генерирует матрицу из коэффициентов уравнений;
•  grad — градиент векторного выражения;
•  GramSchmidt — вычисляет ортогональные векторы;
•  hadamard — вычисляет ограничение на коэффициенты детерминанта;
•  hessian — вычисляет гессиан-матрицу выражения;
•  hilbert — создает матрицу Гильберта;
•  htranspose — находит эрмитову транспонированную матрицу;
•  ihermite — целочисленная эрмитова нормальная форма;
•  indexfunc — определяет функцию индексации массива;
•  Innerprod — вычисляет векторное произведение;
•  Intbasis — определяет базис пересечения пространств;
•  ismith — целочисленная нормальная форма Шмитта;
•  iszero — проверяет, является ли матрица ноль-матрицей;
•  jacobian —' вычисляет якобиан векторной функции;
•  JordanBlock — возвращает блок-матрицу Жордана;
•  kernel — находит базис ядра преобразования, соответствующего данной матрице;
•  laplacian — вычисляет лапласиан;
•  leastsqrs — решение уравнений по методу наименьших квадратов;
•  linsolve — решение линейных уравнений;
•  LudeComp — осуществляет LU-разложение;
•  minpoly — вычисляет минимальный полином матрицы;
•  mulcol — умножает столбец матрицы на заданное выражение;
•  mulrow — умножает строку матрицы на заданное выражение;
•  multiply — перемножение 'матриц или матрицы и вектора;
•  normalize — нормализация вектора;
•  orthog — тест на ортогональность матрицы;
•  permanent — вычисляет перманент матрицы — определитель, вычисляемый без перестановок;
•  pivot — вращение относительно элементов матрицы;
•  potential — вычисляет потенциал векторного поля;
•  Qrdecomp — осуществляет QR-разложение;
•  randmatrix — генерирует случайные матрицы;
•  randvector — генерирует случайные векторы;
•  ratform — вычисляет рациональную каноническую форму;
•  references — выводит список основополагающих работ по линейной алгебре;
•  rowspace — вычисляет базис пространства строки;
•  rowspan — вычисляет векторы охвата для места столбца;
•  rref — реализует преобразование Гаусса-Жордана матрицы;
•  scalarmul — умножение матрицы или вектора на заданное выражение;
•  singval — вычисляет сингулярное значение квадратной матрицы;
•  singularvals — возвращает список сингулярных значений квадратной матрицы;
•  smith — вычисляет Шмиттову нормальную форму матрицы;
•  submatrix — извлекает указанную подматрицу из матрицы;
•  subvector — извлекает указанный вектор из матрицы;
•  sumbasis — определяет базис объединения системы векторов;
•  swapcol — меняет местами два столбца в матрице;
•  swaprow — меняет местами две строки в матрице;
•  sylvester — создает матрицу Сильвестра из двух полиномов;
•  toeplitz — создает матрицу Теплица;
•  trace — возвращает след матрицы;
•  vandermonde — создает вандермондову матрицу;
•  vecpotent — вычисляет векторный потенциал;
•  vectdim — определяет размерность вектора;
•  wronskian — вронскиан векторных функций.

Ниже мы рассмотрим более подробно наиболее часто используемые функции из этого пакета. С деталями синтаксиса (достаточно разнообразного) для каждой из указанных функций можно ознакомиться в справочной системе Maple. Для этого достаточно использовать команду 

?name;  где name — имя функции (из приведенного списка).