|
Функция
DEplot из пакета DEtools
Специально для решения и визуализации
решений дифференциальных уравнений и систем с дифференциальными уравнениями
служит инструментальный пакет DEtools. В него входит
ряд функций для построения наиболее сложных и изысканных графиков решения дифференциальных
уравнений. Основной из этих функций является функция DEplot.
Функция DEplot может записываться в нескольких формах:
DEplot(deqns,
vars. trange. eqns)
DEplot(deqns, vans, trange. inits. eqns)
DEplot(deqns. vars. trange, уrange, xrgnge, eqns) .
DEplot(deqns.
vars, trange. Inits, xrange. yrange, eqns)
Здесь deqns
— список или множество, содержащее систему дифференциальных уравнений первого
порядка или одиночное уравнение любого порядка; vars
— зависимая переменная или список либо множество зависимых переменных;
trange — область изменения независимой переменной t;
Inits — начальные условия для решения; yrange
— область изменения для первой зависимой переменной, xrange
— область изменения для второй зависимой переменной; eqns
— опция, записываемая в виде keyword-value. Замена имен
переменных другими в данном случае недопустима.
Эта функция обеспечивает численное
решение дифференциальных уравнений или их систем при одной независимой переменной
t и строит графики решения. Для автономных систем эти графики строятся в виде
векторного поля направлений, а для неавтономных систем — только в виде кривых
решения. По умолчанию реализуется метод Рунге—Кутта 4-го порядка, что соответствует
опции methodiclassical[rk4]. С функцией
DEplot могут использоваться следующие параметры:
- arrows = type
— тип стрелки векторного поля ('SMALL', 'MEDIUM', 'LARGE',
'LINE'
- или 'NONE');
- colour, color
= arrowcolour — цвет стрелок (задается 7 способами);
- dirgrid =
[integer,integer] — число линий сетки (по умолчанию [20, 20]);
- iterations
= integer — количество итераций, представленное целым числом;
- linесоlor,
linecolor = lineinfo — цвет линии (задается 5 способами);
- method='rk4'
— задает метод решения ('euler', 'backeuler', 'impeuler' или
'rk4');
- obsrange
= TRUE.FALSE — задает (при TRUE) прерывание
вычислений, если кривая решения выходит из области обзора;
- scene = [name.name]
— задает имена зависимых
переменных, для которых строится график;
- stepsize = h
— шаг решения, по умолчанию равный abs((b-a))/20 и представленный
вещественным значением.
На рис. 13.8 показано решение системы
диффкренциальных уравнений
x'(t)=x(t)(1-y(t)
y'(t)=
0,3y(t)(x(t)-1),
описывающих модель Лотки—Вольтерра
при заданных в документе изменениях t, x(t) и y(t). Решение представлено в виде
векторного поля стрелки которого являются касательными к кривым решения (сами
эти кривые не строятся). Обратите внимание на функциональную закраску стрелок
векторного поля, делающую решение особенно наглядным (правда, лишь на экране
цветного дисплея, а не на страницах книги).
Рис. 13.8.
Решение системы дифференциальных уравнений Лотки—Вольтерра , с выводом в виде
графика векторного поля
Еще интересней вариант графиков,
представленный на рис. 13.9. Здесь помимо векторного поля несколько иного стиля
построены фазовые портреты решения с использованием функциональной закраски
их линий. Фазовые портреты построены для двух наборов начальных условий:
x(0) = y(0) = 1,2 и x(0)
= 1 и у(0)=0,7.
Следует отметить, что функция
DEplot может обращаться к другим функциям пакета DEtools
для обеспечения специальных графических возможностей, таких как построение векторного
поля или фазового портрета решения.
Рис. 13.9.
Пример построения двух фазовых портретов на фоне векторного поля
|
