|
Расширенная
техника анимации
Анимирование разложения импульса в ряд Фурье
Анимирование изображений является
одним из самых мощных средств визуализации результатов моделирования тех или
иных зависимостей или явлений.
Порою изменение во времени одного
из параметров зависимости дает наглядное представление о его математической
или физической сути.
Здесь мы расширим представление
об анимации и рассмотрим не вполне обычный пример — наблюдение в динамике за
гармоническим синтезом некоторой произвольной функции f(x) на отрезке изменения
л; от 0 до 1. Значения функции f(x) могут быть одного знака или разных знаков.
В этом примере можно наблюдать в динамике синтез заданной функции рядом Фурье
с ограниченным числом синусных членов (гармоник) — до 1, 2, 3..JV. На рис. 12.50
представлен документ, реализующий такое разложение и затем синтез для пилообразного
линейно нарастающего импульса, описываемого выражением f(x) =
-1 + 2 *х. На графике строится исходная функция и результат ее синтеза
в динамике анимации.
Рис. 12.50.
Один из первых стоп-кадров анимации разложения импульса в ряд Фурье
Рисунок 12.51 показывает завершающий
стоп-кадр анимации, когда число гармоник N равно 30. Нетрудно заметить, что
такое число гармоник в целом неплохо описывает большую часть импульса, хотя
в. его начале и в конце все еще заметны сильные отклонения.
Для f(x) = 1
строится приближение для однополярного импульса с длительностью 1 и амплитудой
1, при f(x) =х — приближение для пилообразного линейно
нарастающего импульса, при f(x) =х^2 — приближение
для нарастающего по параболе импульса, при f(x)=signum(x-l/2)
— приближение для симметричного прямоугольного импульса-меандра и т.
д. Фактически можно наблюдать анимационную картину изменения формы импульса
по мере увеличения числа используемых для синтеза гармоник. Выбор используемого
числа гармоник осуществляет амплитудный селектор — функция a=
f(t,k), основанная на применении функции Хевисайда.
Рис. 12.51.
Второй (завершающий) кадр анимации
Самым интересным в этом примере
оказывается наблюдение за зарождением и эволюцией эффекта Гиббса — так называют
волнообразные колебания на вершине импульса, связанные с ограничением числа
гармоник при синтезе сигнала. С ростом числа гармоник эффект Гиббса не исчезает,
просто обусловленные им выбросы вблизи разрывов импульса становятся более кратковременными.
Амплитуда импульсов может достигать 18% от амплитуды перепадов сигнала, что
сильно ухудшает приближение импульсных сигналов рядами Фурье и вынуждает математиков
разрабатывать особые меры по уменьшению эффекта Гиббса.
Можно ли наблюдать одновременно
все фазы анимации? Можно! Для этого достаточно оформить анимационную картину,
созданную функцией animate, в виде отдельного графического,
объекта например g, после чего можно вывести все его фазы оператором
display. Это и иллюстрирует рис. 12.52. На этот раз задано f(x)
= signum(x-l/2) и N = 25. Таким образом рассматриваются симметричные
прямоугольные импульсы - меандр. У каждого рисунка координатные оси с делениями
удалены параметром axes=none.
Рис. 12.52.
Иллюстрация получения всех кадров анимации двумерного графика
Любопытно отметить, что при определенных
числах гармоник связанная с колебательными процессами неравномерность вершины
импульса резко уменьшается. Наблюдение этого явления и является наиболее интересным
и поучительным при просмотре данного примера.
При внимательном просмотре рис.
12.52 заметно, что после некоторого периода установления фазы анимационной картинки
практически повторяются. Это связано с известным обстоятельством — установившийся
спектр меандра содержит только нечетные гармоники. Поэтому, к примеру, вид спектрального
разложения при 22 гармониках будет тот же, что и при 21 гармонике, при 24 гармониках
тот же, что при 23, и т. д. Однако эта закономерность проявляется только при
установившемся (стационарном) спектре.
| 
